【导语】这次小编给大家整理了例谈二次函数在闭区间上的最值问题（共2篇），供大家阅读参考。
篇1：例谈二次函数在闭区间上的最值问题
例谈二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数是高中数学中最基本也最重要的内容之一，而二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续，随着区间的确定或变化，以及系数中参变数的变化，它又成为高考数学的热点.
一、求定二次函数在定区间上的最值
当二次函数的区间和对称轴都确定时，要将函数式配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值.
【例1】 已知2x2≤3x，求函数f(x)=x2-x+1的最值.
解:由已知2x2≤3x，可得0≤x≤32，即函数f(x)是定义在区间[0，32]上的二次函数，将二次函数配方得f(x)=(x-12)2+34，其图象开口向上，且对称轴方程x=12∈[0，32]，故f(x)?max=f(32)=74，f(x)?min=f(12)=34.
二、求动二次函数在定区间上的最值
当二次函数的区间确定而对称轴变化时，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分别讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解.
【例2】 已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间[-4，1]上的`最大值是5，求实数a的值.
解:将二次函数配方得f(x)=a(x+2)2+a2-4a-1，其对称轴方程为x=-2，顶点坐标为(-2，a2-4a-1)，图象开口方向由a决定，很明显，其顶点横坐标在区间[-4，1]上.若a<0，则函数图象开口向下，当x=-2时，函数取得最大值5，即f(-2)=a2-4a-1=5，解得a=2-10(a=2+10舍去);若a>0，则函数图象开口向上，当x=1时，函数取得最大值5，即f(1)=5a+a2-1=5，解得a=1(a=-6舍去).综上讨论，函数f(x)在区间[-4，1]上取得最大值5时，a=2-10或a=1.
三、求定二次函数在动区间上的最值
当二次函数的对称轴确定而区间在变化时，只需对动区间能否包含抛物线的顶点的横坐标进行分类讨论.
【例3】 已知函数f(x)=-x2+8x，求f(x)在区间[t，t+1]上的最大值g(t).
解:函数f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16，其对称轴方程为x=4，顶点坐标为(4，16)，其图象开口向下.
(1)当顶点横坐标在区间[t，t+1]右侧时，有t+1<4，即t<3，当x=t+1时，g(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7.
(2)当顶点横坐标在区间[t，t+1]上时，有t≤4≤t+1，即3≤t≤4，当x=4时，g(t)=f(4)=16.
(3)当顶点横坐标在区间[t，t+1]左侧时，有t>4，当x=t时，g(t)=f(t)=-t2+8t.
综上，g(t)=-t2+6t+7，当t<3时;16，当3≤t≤4时;-t2+8t，当t>4时.
四、求动二次函数在动区间上的最值
当二次函数的区间和对称轴均在变化时，亦可根据对称轴在区间的左、右两侧及穿过区间三种情况讨论，并结合其图形和单调性处理.
【例4】 已知y2=4a(x-a)(a>0)，且当x≥a时，S=(x-3)2+y2的最小值为4，求参数a的值.
解:将y2=4a(x-a)代入S的表达式得S=(x-3)2+4a(x-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.
S是关于x的二次函数，其定义域为x∈[a，+∞)，对称轴方程为x=3-2a，顶点坐标为(3-2a，12a-8a2)，图象开口向上.若3-2a≥a，即02=4，此时a=1或a=12.若3-2a1，则当x=a时，S?min=[a-(3-2a)]2+12a-8a2=4，此时a=5(a=1舍去).
综上讨论，参变数a的取值为a=1或a=12或a=5.
篇2：例谈创意丰富的几何最值问题
例谈创意丰富的几何最值问题
几何最值问题近年来屡屡出现在各地的中考数学试卷中,此类问题虽然只涉及平面几何中最基本的'知识,但试题常以各种几何图形或平面直角坐标系为载体,与其他知识综合,形成背景新颖、创意独特的一类问题,考查学生在图形的运动变化中探究几何元素之间位置关系和数量关系的能力,体现新课程对学生几何探究、推理能力的要求.笔者试撷取近两年中考试题中的几例,以飨读者.
作 者：余立峰 作者单位：四川省仁寿县教育局教研室 刊 名：中国数学教育（初中版） 英文刊名：ZHONGGUO SHUXUE JIAOYU 年，卷(期)：2009 “”(11) 分类号：G63 关键词：
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