以下是小编为大家整理的用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题，本文共4篇，希望对您有所帮助。
篇1：用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题
用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题
用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题万海芬
（怀仁县第一高级职业中学）
排列组合属于数学中相对独立的一门分支学科，它研究的核心问题是在给定条件下的某事件可能出现的情况总数。排列组合既是学习概率论与数理统计的理论基础，又是组合数学中最基本的概念。由于排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思想抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除了做到排列组合分清，加法乘法原理辩明外，还应注意避免重复或遗漏。
在排列组合问题中，除了最直观的捆绑法和插空法外，还有常用的幂指法等。这里，主要讨论分类的数学思想解决能用幂指法解决的问题。
幂指法属于分步法的一种特殊情况，完成目标事件的每一步方法的个数是相同的，即m1=m2=…=mn=m那么总数N=mn,因此我们也可称它为乘方原理。幂指法一般出现于允许重复的排列问题中。这类问题研究的对象是不受位置约束的元素，一般把n个不同的元素无限制地安排在m个不同的'位置上的排列数为N=mn.不难看出这类排列问题允许空位的存在。并且每一个位置中的元素个数不受限制。所以我们可以根据位置的数量进行分类。
例：把三名实习生分配到5个车间实习，共有多少种不同的分法？
利用幂指法解：每名实习生都有5种不同的分法。所以3名实习生共有53=125（种）不同的分法。
利用分类的数学思想去解，根据所选车间的数量进行分类。
第一类：只选一个车间实习。
从5个车间中任选一个车间，3人同去一个车间有C51C33=5（种）分法。
第二类：选两个车间实习。
首先从五个车间中任取两个车间，有C52种取法。针对每取出的两个车间又各有几种分配方法，不妨以取到1号车间和2号车间为例，（1）1号车间可以去1人。2号车间去2人。这时，1号车间的1人来自已有的3人，余下的2人去2号车间，有C31C22种分配方法。（2）1号车间去2人，2号车间就去1人。这时1号车间的2人来自已有的3人，余下1人去2号车间。有C32C11种分配方法。此时共有C31C22+C32C11=6（种）分配方法。而两个车间的取法又有C52种取法，所以选两个车间实习的方法共有C52（C31 C22+C32C11）=60（种）。
第三类：选三个车间实习。
从五个车间中任取三个车间。有C53种取法。三个实习生只能每人去一个车间，又能进行全排列。所以共有C53A33=60（种）分配方法。
综上所述，共有C51C33+C52（C31C22+C32C11）+C53A33=125（种）不同的分配方法。
相对幂指法，分类思想解决本题较为复杂，但通过几年的教学发现，()能用分类思想解决此题，就能解决一系列相关题目。并为不能用幂指法去解决的题目的解题思路提供帮助。如：
1.将4个不同的小球，放入编号为1、2、3、4的盒子中。
（1）求有多少种不同的放法？
（2）若1号盒子中有两个球，求有多少种不同的放法？
（3）若没有空盒子，求有多少种不同的放法？
（4）若有两个空盒子，求有多少种不同的放法？
解析：
（1）根据所选盒子的数量进行分类。第一类：只取一个盒子，有C41=4（种）取法。4个球会进入同一个盒子。也就有C41=4（种）放法；第二类：取两个盒子，有C42=6（种）取法。这时针对每取到的2个盒子都有C41C33+C42C22+C43C11=14（种）取法。所以共有C42（C41C33+C42C22+C43C11）=84（种）不同的取法；第三类：取三个盒子，有C43种取法。这时针对每取到的3个盒子又有C41C31C22+C41C32 C11+C42C21C11=36（种）取法。所以共有C43（C41C31C22+C41C32C11+ C42C21C11）=144（种）取法；第四类：取4个盒子，共有4个球，相当于做一次全排列。即有A44=24（种）不同的放法。所以共有4+84+144+24=256（种）不同的放法。
（2）若1号盒子中有两球，相当于剩下两个球要放进三个盒子。同样可以根据盒子的数量进行分类。第一类：只取一个盒子，有C31种放法；第二类：取2个盒子，有C32种取法，共有2个小球，可以进行排列，即A22C32.所以共有C42（C31+A22C32）=54（种）不同的放法。
（3）若没有空盒子，恰好4个盒子全用到了。相当于（1）中的第四类。
（4）若有两个空盒子，也就是从4个盒子中用到两个盒子。正好相当于（1）中的第二类。
2.把5个相同的小球放入3个形状不同的盒子里，如果允许有盒子不放球，求有多少种不同的放法？
解析：可以根据盒子的数量进行分类。第一类：取一个盒子，有C31=3种方法；第二类：取2个盒子，有C32种。针对每取到的两个盒子，都有4种不同的放法，所以共有4C32=12种放法；第三类：取3个盒子，有1种取法，5个小球可分为1、1、3和1、2、2两组。在第一组中，3个球可以放进任意一个盒子中，有3种不同的放法，在第二组中，1个球可放进任意一个盒子中。也有三种不同的放法，因为小球相同，所以有3+3=6（种）不同的放法。合起来，共有3+12+6=21（种）不同的放法。
……
在教学过程中发挥典型题的作用，发展学生思维，解决排列组合应用问题是教学的重点，也是难点，更是发展学生思维的好素材。如何抓住重点、突破难点，首先要发挥典型问题的作用。因此，本例是典型题，通过典型题掌握基础知识、基本方法。但仅仅这样是不够的。“数学教学是数学思维活动的教学。”只有发展思维，分析问题、解决问题的能力才能提高，基础知识、基本方法才能在解决数学问题中用得上、用得好。
篇2：高一教学中分类讨论的数学思想
高一教学中分类讨论的数学思想
高一教学中分类讨论的数学思想一、温故知新，螺旋上升
在二次函数的复习中，学生对分类讨论的数学思想有了初步的认识，在此基础上，我趁势给出了三个二次的关系，即一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系，并引导学生来探讨含参数的一元二次不等式的方法。例1:解一元二次不等式x2-（a-1）x-a>0.因为一元二次方程x2-（a-1）x-a=0有两个根x=a和x=-1,由一元二次函数的图像知此一元二次不等式的解应在两根之外。但两根的大小不能断定，目的就是让学生想到从两根的.大小分三种情况进行讨论求解。例2:解一元二次不等式x2-ax+1>0.因为一元二次方程x2-ax+1=0的判别式为a2-4,其正负不能断定，即此方程是否有根不知道，目的就是让学生想到由判别式的大小分三种情况进行讨论求解。例3:解不等式ax2-（2a+1）x+a+1>0.本题目的是让学生想到由x2的系数a来分三种情况进行讨论求解。因为a=0时，此不等式为一次不等式；当a>0时，此一元二次不等式的解集为两根之外；而当a<0时，此一元二次不等式的解集变为两根之间。需要注意的是，由于是高一学生，分类讨论的难度教师一定要把握好。个人认为让学生掌握一层分类即可，而那种先按是否有根分类讨论，再按两根大小分类讨论的多层讨论不必涉及。
二、不断强化，形成习惯
有了前面的学习，学生已经对分类讨论的数学思想有了深刻的认识。在指数函数的学习中教师应当乘胜追击，以使学生能在不断的强化过程中形成良好的习惯。首先教师给出例1:解不等式ax20且a≠1），有了前面的铺垫，多数学生已经能从容地分a>1,a<1两种情况求解。紧接着教师给出例2:求函数y=a2x-3（a>0且a≠1）的单调区间。“一回生两回熟，三次见面就是老朋友。”在对数函数的学习中，教师不妨给出同样的两道例题，例1:解不等式loga（2x-1）
三、一点感想
优秀是一种习惯。从高一开始，学生从起初的遇见参数就犯错误到不断吸取教训，探索规律，直到后来遇见参数就分类讨论，可以说已经成为他们自觉的习惯。从一开始的不知道如何分类到后来分类标准的不重不漏，可以说他们对分类讨论的方法已经掌握得炉火纯青。我相信这不仅为他们学好高中阶段的数学树立了信心，这种严谨的一丝不苟的学风也一定会迁移到他们今后的学习和工作中，一定能使他们受益终生。
篇3：高一教学中分类讨论的数学思想论文
高一教学中分类讨论的数学思想论文
一、温故知新，螺旋上升
在二次函数的复习中，学生对分类讨论的数学思想有了初步的认识，在此基础上，我趁势给出了三个二次的关系，即一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系，并引导学生来探讨含参数的一元二次不等式的方法.例1：解一元二次不等式x2－（a－1）x－a＞0.因为一元二次方程x2－（a－1）x－a＝0有两个根x＝a和x＝－1，由一元二次函数的图像知此一元二次不等式的解应在两根之外.但两根的大小不能断定，目的就是让学生想到从两根的大小分三种情况进行讨论求解.例2：解一元二次不等式x2－ax＋1＞0.因为一元二次方程x2－ax＋1＝0的判别式为a2-4，其正负不能断定，即此方程是否有根不知道，目的就是让学生想到由判别式的大小分三种情况进行讨论求解.例3：解不等式ax2－（2a＋1）x＋a＋1＞0.本题目的是让学生想到由x2的系数a来分三种情况进行讨论求解.因为a＝0时，此不等式为一次不等式；当a＞0时，此一元二次不等式的解集为两根之外；而当a<0时，此一元二次不等式的解集变为两根之间.需要注意的是，由于是高一学生，分类讨论的难度教师一定要把握好.个人认为让学生掌握一层分类即可，而那种先按是否有根分类讨论，再按两根大小分类讨论的多层讨论不必涉及.
二、不断强化，形成习惯
有了前面的学习，学生已经对分类讨论的数学思想有了深刻的认识.在指数函数的学习中教师应当乘胜追击，以使学生能在不断的强化过程中形成良好的习惯.首先教师给出例1：解不等式ax2＜a2x-3（a＞0且a≠1），有了前面的铺垫，多数学生已经能从容地分a＞1，a＜1两种情况求解.紧接着教师给出例2：求函数y＝a2x-3（a＞0且a≠1）的单调区间.“一回生两回熟，三次见面就是老朋友.”在对数函数的`学习中，教师不妨给出同样的两道例题，例1：解不等式loga（2x－1）＜loga（x－3）（a＞0且a≠1）与例2：求函数loga（2x－1）（a＞0且a≠1）的单调区间，目的就是使学生在不断的强化中，自然而然地将分类讨论的数学思想在脑海中根深蒂固.实践证明，高一有了学习必修1的良好开端，高一的必修2的教学就显得格外轻松.例如在必修2解析几何的学习中，当教师让求直线2x－ay＋3＝0的斜率时，学生都会自觉地考虑a＝0时斜率不存在，a≠0时斜率为2a时.不仅如此，他们还能按a＞0，a＜0来进一步判断斜率的正负以及倾斜角什么时候是锐角、什么时候是钝角.
三、一点感想
优秀是一种习惯.从高一开始，学生从起初的遇见参数就犯错误到不断吸取教训，探索规律，直到后来遇见参数就分类讨论，可以说已经成为他们自觉的习惯.从一开始的不知道如何分类到后来分类标准的不重不漏，可以说他们对分类讨论的方法已经掌握得炉火纯青.我相信这不仅为他们学好高中阶段的数学树立了信心，这种严谨的一丝不苟的学风也一定会迁移到他们今后的学习和工作中，一定能使他们受益终生.
篇4：初中数学课堂教学中渗透分类讨论思想的创新论文
初中数学课堂教学中渗透分类讨论思想的创新论文
在新时代的要求下，初中数学的教学不仅要传授学生数学知识，更重要的是培养学生正确的数学思想，而分类讨论正是初中数学中最基本和运用最为广泛的数学思想之一。那么，在实际的数学课堂中，如何顺利的培养学生的分类讨论意识呢？
一、加强课堂渗透，基本树立分类讨论思想
分类讨论的思想并不是数学这门课程所独有的思想，在学生的其他课程甚至是生活实际中其实都有所提及。而教师在数学课堂中所要做的就是帮助学生们理解什么是分类讨论思想，分类讨论思想在数学中有什么作用，所以，在实际的课堂教学中必须加强课堂的渗透。首先是数学概念中分类思想的渗透，其次就是在数学定理和数学公式等中的渗透，还有就是在解决数学习题中出现多种结果后的渗透，最后就是当某些数学问题中出现变量参数后需要对参数进行讨论中的渗透。教师通过在数学课堂中的渗透，可以帮助学生对分类讨论形成基本的认识，为以后深入学习分类讨论思想打下坚实的基础。
首先以苏教版七年级下册中的“有理数”这一章节为例，在这一章内教师首先要讲的肯定是有理数的.概念，而有理数的概念中其实就可以对分类讨论思想进行渗透了。有理数就是整数和分数的统称，在课堂中教师可以通过提问的方式让学生不看书自己概括有理数，在这个时候大部分学生肯定以为正整数和负整数的综合就是有理数，教师在此时就可以提出问题：分数算不算有理数呢？当分数的融入，决定有理数的概念需要分类为整数和分数进行讨论，于是教师就可以在此时提及分类讨论思想，通过学生们在概念归纳上的错误帮助他们对分类讨论思想形成深刻的印象。
二、提升课堂运用，全面深化分类讨论思想
当学生对分类讨论的思想基本形成认识和理解后，教师就可以在实际的课堂当中进行反复的运用，通过不同方面和不同内容的多次运用，全面的对分类讨论思想进行深化。这其中就包括了分类讨论的基本定义，在数学学习中何时需要进行分类，如何进行分类讨论，如何保证分类的全面性等问题的深化教学。在课堂中可以摆出一个复杂概念或问题，然后引导学生进行解答，在其中对分类讨论思想进行全面的剖析。首先是将复杂或概括性强的问题进行分解，分解出一个个简单的小问题，然后对小问题进行解答，最后将解答结果进行综合得出最终结果。在这一过程中，分类讨论的方法得到了充分的运用，教师在从旁进行指导，提高分类的周密性和全面性，分类讨论的思想就可以在学生中得到全面的深化。
例如在苏教版七年级上册中的“用字母表示数”章节学习中，教师可以在课堂中提出一个简单的绝对值问题。例如：|A|―1>2这一问题，首先可以整理为|A|>3，然后教师就可以引导学生对这一问题进行分解成两种情况：A为正数和A为负数，然后对两种情况进行分别解答。当A为正数时A>3，当A为负数时A<―3，最后综合得出结果a>3或A<―3。在这个问题的解答只要教师能够对其中分类讨论思想的运用和注意事项进行详细的解释，学生就能够很好的对分类讨论的思想进行深化理解。
三、加强习题设计，实现学生分类讨论运用
习题的合理设计是实现学生分类讨论思想完全掌握的最重要的一点。目前我国推行的素质化教育中提到的重要的一点就是加强学生的自主学习能力，通过学生的自主学习，自主发现数学中的各种公式和思想。所以，对于学生分类讨论思想的养成这一点上，教师就可以加强课后习题的设计，通过有效的习题，让学生在解答的过程中自主发现分类讨论的方法和过程，并不断的通过习题强化分类讨论思想，最终实现这种思想的熟悉运用和培养出学生缜密的学习思维和严谨的学习态度。在代数习题中，教师可以多添加变量参数以实现分类讨论的应用，在几何习题中，教师可以多添加不确定图形让学生发散思维和加强分类讨论的运用。
以苏教版七年级下册中“解一元一次方程组”这个章节为例，在这个章节的课后习题中通过变量参数的设置就可以加强学生分类讨论思想的运用。如一元一次方程组的应用题：某超市推出如下的一种优惠活动，购物满100元打8折，晓明在购物中实付120元，问晓明的应付款为多少。这一习题通过一元一次方程很容易就可以得到答案150元，而分类讨论的思想也没有得到运用。因此，可以将该习题的实付款进行修改，如修改为90元，那么就需要学生进行分类讨论，讨论应付款在小于100元和大于100元两种情况。也可以对这一习题进行修改为开放性问题，如修改为应付款可能出现两种情况的区域，这样一来学生就需要对80元以上和80元以下的两种情况进行分类讨论。总之，在习题中要加强分类讨论方法的运用，从而让学生能够顺利的培养分类讨论的思想并熟悉运用过程。
总之，在数学教学当中，教师要转变教育思想，努力创新教育方式。在课堂中不断渗透分类讨论的思想，在教学时加强分类讨论方法的教育，在课后习题中加强分类讨论思想的深化和运用。这样才能帮助学生培养正确的分类讨论思想，使其在以后的数学学习能够更加轻松。并且，分类讨论的思想也帮助学生们开拓了学习的思维，培养了严谨的学习态度和全面的思考方式，使其在以后的学习和生活中能够受益终生。
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