下面是小编为大家推荐的证明二重极限不存在，本文共8篇，欢迎大家分享。
篇1：证明二重极限不存在
证明二重极限不存在
证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案
2
若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。。可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-38780l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x―’10 y―’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。)时，f(x，Y)趋于不同的.值，则可判定二重极限limf(x，Y)不存在，这一方I―’10 r’Y0 法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(xo，Y。)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2 的极限，在判卜’Io g x，Y y―・y0 断其不存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。
3
当沿曲线y=-x+x^2趋于(0 0)时，极限为 lim (-x^2+x^3)/x^2=-1;
当沿直线y=x趋于(0 0)时，极限为 lim x^2/2x=0。故极限不存在。
4
x-y+x^2+y^2
f(x,y)=――――――――
x+y
它的累次极限存在：
x-y+x^2+y^2
l i m l i m ―――――――― =-1
y->0x->0 x+y
x-y+x^2+y^2
l i m l i m ―――――――― =1
x->0y->0 x+y
当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。
篇2：证明极限不存在
证明极限不存在
二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的.题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..
2
是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点
沿着两条直线 y=2x
y=-2x 趋于(0,0)时
极限分别为 -3 和 -1/3 不相等
极限存在的定义要求 延任何过(0,0)直线求极限时 极限都相等
篇3：证明极限不存在
lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)
=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)
=1-lim8 / [(x/y)^2+3]
因为不知道x、y的大校
所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)
篇4：证明极限不存在
4
如图用定义证明极限不存在~谢谢!!
反证法
若存在实数L，使limsin(1/x)=L，
取ε=1/2，
在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，
②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，
使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3，
和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3，
同时成立。
即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。
这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。
篇5：如何证明极限不存在
如何证明极限不存在
如何证明极限不存在反证法
若存在实数L，使limsin(1/x)=L，
取ε=1/2，
在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，
②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，
使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3，
和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3，
同时成立。
即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。
这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。
反证法：
一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在
假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)
矛盾
所以原命题成立
令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
= lim(x趋于0) x^3-x^2/ x^2 =-1
两种情况极限值不同，故原极限不存在
2答案： 首先需要二项式定理：
(a+b)^n=∑ C(i=0 C i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)
用数学归纳法证此定理：
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立 ，即：
(a+b)^n1=∑ C(i=0 C i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i (式二)
则，当n=n1+1时:
式二两端同乘(a+b)
[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ C(i=0 C i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
= (a+b)^(n1+1)= ∑ C(i=0 C i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)
因此二项式定理(即式一成立)
下面用二项式定理计算这一极限：
(1+1/n)^n (式一)
用二项式展开得：
(1+1/n)^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的`若干次方，当n - +∞,得0。因此总的结果是当n - +∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：
(1+1/n)^n =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+ … + 1/n! (式二)
当n - +∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。
篇6：定义证明二重极限
定义证明二重极限
定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A
关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0<户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周<。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的'极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜
利用极限存在准则证明：
(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0
故(Inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,单调递减
且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.
对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a
同理可求x0<√a时,极限亦为√a
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限：
以 时 和 为例引入.
介绍符号: 的意义, 的直观意义.
定义 ( 和 . )
几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证 例2验证 例3验证 证 ……
(二)时函数的极限：
由 考虑 时的极限引入.
定义函数极限的“ ”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =
为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有
例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.
例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.
例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有
= §2 函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限: , .以下以极限 为例讨论性质. 均给出证明或简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性( 不等式性质 ):
Th 4若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域,使 ， 都有 证 设 = ( 现证对 有 )
]:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)
(二)利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值 )
这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1( 利用极限 和 )
例2例3]:关于 的有理分式当 时的极限.
例4 [ 利用公式 ]
例5例6例7
篇7：极限不存在三种情况
极限存在与否的判断
1、结果若是无穷小，无穷小就用0代入，0也是极限。
2、若是分子的极限是无穷小，分母的极限不是无穷小，答案就是0，整体的极限存在。
3、如果分子的极限不是无穷小，而分母的极限是无穷小，答案不是正无穷大，就是负无穷大，整体的.极限不存在。
4、若分子分母各自的极限都是无穷小，那就必须用罗毕达方法确定最后的结果。
篇8：极限 定义证明
极限 定义证明
极限 定义证明趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
这两个用函数极限定义怎么证明?
x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要
|sinx/√x|^2<ξ^2,即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞),则x>sinx^2/ξ^2,
∵|sinx| ≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，
所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，
同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只
需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,则当0<|x+1/2|<δ时，必有
|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，
由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.
注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.
记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;
下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;
那么存在N1,当x>N1,有a/M<=f1(x)
注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)
同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)
取N=max{N1,N2...Nm};
那么当x>N,有
(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n
所以a/M<=[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)
对n取极限，所以a/M<=g(x)N时成立;
令x趋于正无穷，
a/M<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b;
注意这个式子对任意M>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。
令M趋于正无穷，b趋于a;
有a<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=a;
这表明limg(x)=a;
证毕;
证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。
还有个看起来简单些的方法
记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;
g(x)=max{f1(x),....fm(x)};
然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。
其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。
有种简单点的方法，就是
max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2 从而为简单代数式。
多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，
故极限可以放进去。
2
一)时函数的极限：
以 时 和 为例引入.
介绍符号: 的意义, 的'直观意义.
定义 ( 和 . )
几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证 例2验证 例3验证 证 ……
(二)时函数的极限：
由 考虑 时的极限引入.
定义函数极限的“ ”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =
为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有
例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.
例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.
例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有
= §2 函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限: , .以下以极限 为例讨论性质. 均给出证明或简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性( 不等式性质 ):
Th 4若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域,使 ， 都有 证 设 = ( 现证对 有 )
]:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)
(二)利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值 )
这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1( 利用极限 和 )
例2例3]:关于 的有理分式当 时的极限.
例4 [ 利用公式 ]
例5例6例7
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